Laboratorios interactivos
Cada laboratorio parte de una situación concreta, conecta con el contenido de su unidad y permite explorar, conjeturar y justificar con herramientas matemáticas.
1. Explora
Manipula variables, observa la escena y busca relaciones antes de formalizar.
2. Interpreta
Compara gráficos, tablas y expresiones para justificar qué está ocurriendo.
3. Profundiza
Descarga datos, conecta con una unidad y transforma la experiencia en análisis más largo.
Ver:
Antes de escribir una fórmula, hay que saber qué tipo de fórmula buscar. La tabla de diferencias responde esa pregunta: si la primera diferencia Δ¹ es constante el patrón es lineal; si la segunda Δ² es constante es cuadrático. Este laboratorio conecta la figura visual con la expresión algebraica.
Una sucesión aritmética crece sumando siempre el mismo valor; una geométrica, multiplicando por el mismo factor. Este laboratorio muestra cómo esa diferencia produce gráficas y acumulaciones radicalmente distintas, conectando progresiones con funciones y series con convergencia.
Fibonacci es el patrón recursivo más famoso: cada término es la suma de los dos anteriores. A diferencia de los patrones polinomiales, su tabla de diferencias nunca se estabiliza — el crecimiento es exponencial, aproximado por φⁿ/√5. La razón áurea φ aparece en la naturaleza porque optimiza el empaquetamiento de semillas y pétalos.
El interés simple suma siempre la misma cantidad (progresión aritmética); el compuesto multiplica cada año por el mismo factor (progresión geométrica). La diferencia entre ambas curvas revela por qué el tiempo es el activo más poderoso en cualquier inversión.
Toda función invertible tiene un espejo en la línea y = x. Explorar ese espejo con la exponencial revela por qué el logaritmo existe, cuál es su dominio y por qué no está definido en cero ni en negativos.
El Triángulo de Pascal organiza los coeficientes C(n,k) = n! / k!(n-k)! que aparecen al expandir cualquier binomio elevado a una potencia entera. Cada celda es la suma de las dos de arriba, y la fila n da exactamente los n+1 términos de (a+b)ⁿ.
Cada ecuación lineal ax + by = c es una recta en el plano. Resolver el sistema es encontrar su intersección. El determinante det = a₁b₂ − a₂b₁ decide si existe una solución única, infinitas o ninguna.
En enero de 1978, un estudiante regresó de vacaciones con gripe A. Seis días después, 300 de los 763 internos estaban en cama. Este lab simula el brote con una progresión geométrica de razón 1 + R₀ y conecta sucesiones, crecimiento exponencial y logaritmos con un fenómeno real documentado en el British Medical Journal.
Se modelan procesos de aproximación, acercamiento y comportamiento local para leer tendencias cerca de un punto sin depender solo de una tabla.
Se modelan trayectos sobre una recta, con velocidad positiva y negativa, para interpretar cuándo el móvil avanza, retrocede, se detiene y cómo eso cambia la diferencia entre desplazamiento y distancia.
Se modela el lanzamiento idealizado de una pelota para conectar posición, velocidad, aceleración y lectura gráfica del movimiento.
Es la capa observacional de la plataforma: parte de una escena, recoge datos cuadro a cuadro y traduce el movimiento a componentes, gráficas y modelos funcionales.
Funciona como un observatorio comparativo de familias para estudiar crecimiento, simetrías, extremos, asíntotas, vértices y estructura algebraica.
Se estudian expresiones como f(x-h), f(x)+k, af(x), f(bx), -f(x) y f(-x) para interpretar transformaciones con rigor.
Se centra en comportamiento por intervalos, asíntotas verticales/horizontales/oblicuas y la diferencia clave entre asíntota y discontinuidad evitable.
Datos reales con ruido. El estudiante conjetura una familia, ajusta a mano, y luego ve la matemática real de la regresión: ecuaciones normales para lineal y cuadrática, linealización por logaritmo para exponencial y logarítmica.
El modelo logístico y(t) = K / (1 + e^{−r(t−t₀)}) tiene tres parámetros con sentido físico: K es el techo asintótico (capacidad o saturación), r es la velocidad de crecimiento y t₀ es el año del punto de inflexión. A diferencia de los modelos exponenciales puros, el logístico reconoce que casi todo fenómeno real tiene un límite — y aprender a leer ese límite es parte central de la modelación.
Los taxis de Tokio cobran una bandera de 500 ¥ hasta 1 km y luego 100 ¥ cada 200 m. Este lab visualiza cómo una función constante por tramos difiere de una lineal y cómo la función techo produce los saltos característicos.
Desde ~1500 a.C. los egipcios usaron clepsidras cónicas para medir el tiempo. Calcular el volumen a partir de la altura es directo, pero para leer la hora necesitaban la inversa: altura a partir del volumen. Este lab muestra ambas funciones como reflexiones sobre y = x.
Una onda sonora se expande como una esfera; su intensidad cae con 1/r² porque el área de la esfera crece con 4πr². Cuando la onda choca con una superficie reflectora pierde un factor κ por cada rebote. El lab muestra el fenómeno en tres representaciones: animación 2D del frente de onda, gráfica de los niveles que llegan al oído en el tiempo, y oscilograma sinusoidal.
Se manipulan las dimensiones de cuatro sólidos clásicos y se observan en tiempo real las fórmulas, las medidas y la gráfica de V y A en función de un parámetro.
Se llena un recipiente virtual (cilindro, cono, esfera, formas compuestas) y se observa la curva V vs h, la tasa de cambio dV/dh y la familia de función resultante.
Se modelan tres situaciones reales donde cada cónica aparece naturalmente: cobertura de señal circular, concentración de rayos en un foco parabólico y órbitas elípticas con excentricidad variable.
Aborda fenómenos periódicos y oscilatorios para relacionar parámetros con forma, periodicidad y modelación.
Se superponen la curva base y la transformada y = a·f(b(x − h)) + k para visualizar el efecto de cada parámetro. Un modo desafío pide identificar los parámetros de una curva incógnita.
Se presentan datos periódicos de cuatro contextos reales y el estudiante manipula a, b, h, k para que la curva modelo se ajuste a los datos, evaluando la calidad con RMSE y residuos.
Tales visitó Egipto y calculó los 147 metros de la pirámide sin tocar la piedra. Este lab reconstruye la escena con el sol moviéndose, la pirámide y el bastón proyectando sombras en tiempo real, y el "momento Tales" a 45° donde la sombra iguala la altura. Conecta razones trigonométricas (tan θ), semejanza de triángulos y medición indirecta.
Cuatro waypoints en ℝ³ (A puerto, B canal Singel, C Jordaan, D helipuerto fuera del plano ABC) y una torre histórica fija. El estudiante trabaja en 9 paneles secuenciales que cubren paso a paso el contenido vectorial obligatorio HL.
Se modelan tasas de entrada, producción o flujo para interpretar qué cantidad total se acumula y cómo estimarla con sumas de Riemann.
Se modelan situaciones donde una variable cambia por efecto de otra — una escalera deslizándose, un cono llenándose, un faro giratorio — para deducir la tasa desconocida usando la regla de la cadena.
Se modelan fenómenos con ganancias y pérdidas, avance y retroceso, o entradas y salidas para interpretar el signo de la integral.
Cubre los patrones clásicos del nivel superior para volumen de sólidos de revolución: discos y arandelas alrededor del eje x, rotación alrededor del eje y por despeje o por cascarones cilíndricos, cortes transversales sin rotación, y comparación de métodos. El lab valida el integrando numéricamente evaluándolo en puntos aleatorios, así (x²+1)² y x⁴+2x²+1 se aceptan como equivalentes sin tener que resolver equivalencia simbólica. Al resolver las tres fases aparece un explorador del volumen acumulado V(x) con pregunta pedagógica: ¿en qué x se acumula la mitad del volumen? ¿Por qué no es siempre el punto medio?
Se modelan problemas clásicos de optimización geométrica: caja de volumen máximo, corral contra pared, cable cruzando río y cono inscrito en esfera.
El 16 de agosto de 2009, Usain Bolt corrió los 100 m en 9.58 s. La IAAF registró su posición cada 10 m. Este lab parte de esos 11 datos, ajusta un modelo exponencial de velocidad y usa primera y segunda derivada para leer la historia interna del movimiento: aceleración máxima al inicio, velocidad terminal cerca del metro 60.
Las alturas humanas son un ejemplo clásico de distribución normal. Este laboratorio usa datos de 3 grupos (mixto, mujeres, hombres) para practicar estadística descriptiva completa: histograma, box plot, resumen de 5 números, media, mediana, desviación estándar y simetría.
El tiempo de reacción humano es un dato que los estudiantes pueden generar y analizar en el momento. Este laboratorio incluye una prueba interactiva que mide milisegundos, acumula los resultados y calcula estadísticos en tiempo real. Es ideal para discutir variabilidad, valores atípicos y la diferencia entre media y mediana.
Comparar grupos es una de las aplicaciones más importantes de la estadística descriptiva. Este laboratorio presenta datos de 3 exámenes (Matemáticas, Ciencias, Lengua) donde dos grupos tomaron la misma prueba. Permite calcular percentiles, comparar medias y medianas, y analizar dispersión.
La ley de los grandes números establece que al repetir un experimento muchas veces, la frecuencia relativa se acerca a la probabilidad teórica. Este simulador permite experimentar con un dado y ver la convergencia en tiempo real.
La distribución binomial modela el número de éxitos en n ensayos independientes con probabilidad constante p. Este laboratorio permite explorar cómo cambia la forma de la distribución al variar n y p, y compararla visualmente con la curva normal aproximada.
La distribución normal es el modelo continuo más importante en estadística. Desde alturas de personas hasta errores de medición, muchos fenómenos naturales siguen esta forma acampanada. Este laboratorio permite manipular los parámetros μ y σ, sombrear áreas bajo la curva y verificar la regla empírica.
La regresión lineal permite modelar la relación entre dos variables cuantitativas. Este laboratorio presenta 4 escenarios reales (estudio, clima, altitud, emisiones) donde el estudiante primero intenta ajustar la recta por intuición y luego compara con la solución por mínimos cuadrados.
El cuarteto de Anscombe (1973) y el Datasaurus (Matejka y Fitzmaurice, 2017) son dos familias de datos donde los resúmenes estadísticos coinciden hasta la segunda cifra mientras las gráficas son completamente diferentes. El laboratorio muestra primero la tabla de resúmenes casi idénticos, pide una conjetura y luego revela las formas para enseñar la lección de Tukey: mirar antes de resumir.
El Teorema Central del Límite (TCL) es uno de los resultados más poderosos de la estadística: sin importar la forma de la población original, la distribución de las medias muestrales se aproxima a una normal con media μ y desviación σ/√n. Este laboratorio permite experimentar con poblaciones uniformes, exponenciales, bimodales y sesgadas.
Los problemas tradicionales de Venn no te dan todos los datos — parte del ejercicio es ubicar lo que falta. El lab incluye 6 problemas con distintos patrones: dan |U|, |A|, |B|, ninguno y piden la intersección; dan solo regiones y piden condicionales; dan probabilidades parciales y piden decidir si hay independencia; o dan porcentajes y piden escalar a una población real. Cada problema tiene validación por región, pistas contextuales en caso de error y una "segunda parte" que conecta el conteo con las probabilidades derivadas (marginales, unión, condicionales, independencia y De Morgan).
Cinco contextos reales (tiempos de biblioteca, estaturas en 9° grado, propinas en cafetería, tiempos de 1500 m con frecuencia faltante, peso de mochilas) abordan los patrones clásicos IB: lectura directa de cuartiles, percentil no trivial, decisión de sesgo (media vs mediana), cierre de tabla con incógnita k, y pendiente de la ojiva vs intervalo modal. El flujo pedagógico es en dos fases: primero completar la tabla de frecuencia acumulada con validación celda a celda, y solo cuando está correcta se dibuja la ojiva y el estudiante puede leer los cuantiles. Cada problema revelado muestra la comparación mediana-media, un box plot derivado y un explorador libre de percentiles.
En 1973 la Universidad de California en Berkeley fue señalada por discriminar mujeres en sus admisiones de posgrado: 44 % de los hombres entraron, contra solo 35 % de las mujeres. Bickel, Hammel y O'Connell publicaron en Science (1975) la respuesta: al abrir los datos por departamento, en 4 de los 6 departamentos mayores las mujeres tenían tasa de admisión igual o mayor que los hombres. La asociación global era una ilusión causada por la elección de departamento — las mujeres aplicaban a programas más selectivos. Es la paradoja de Simpson más famosa de la historia.
Recibes un resultado positivo en un test diagnóstico que detecta correctamente al 99 % de los enfermos y rechaza correctamente al 99 % de los sanos. La intuición dice que tienes 99 % de probabilidad de estar enfermo. Bayes dice que depende drásticamente de qué tan común sea la enfermedad. Este lab construye el árbol de probabilidad sobre 1 000 personas y permite explorar 5 casos reales: test 99/99 con enfermedad rara, mamografía, test VIH de 4ª generación, antidopaje olímpico y test rápido de COVID en fase de alza.
Una tabla de contingencia puede parecer contar una historia — más mujeres eligen voleibol, el tratamiento A gana al placebo, los estudiantes que estudian en grupo sacan mejores notas — pero las diferencias pueden venir solo del azar. Este lab construye paso a paso el razonamiento del test de chi² de independencia: tabla observada → tabla esperada si H₀ fuera cierta → estadístico χ² = Σ (O−E)²/E → grados de libertad → comparación con valor crítico → veredicto.
Una prueba binaria no da la verdad: da una señal. El árbol separa lo que puedes saber (prevalencia basal) de lo que te informa el test (sensibilidad y especificidad), y permite calcular la probabilidad posterior. Este lab cubre 4 dominios NO-médicos: filtro de spam, detector de plagio, antifraude bancario y antidopaje. (El lab médico vive en Falso positivo de Bayes.)
En 1738 Daniel Bernoulli propuso un juego que desafió la teoría de valor esperado: lanzar moneda hasta cara y doblar el premio en cada lanzamiento (2, 4, 8, 16, …). La esperanza teórica es infinita, pero casi nadie pagaría más de 10-20 pesos. El lab permite variar el tope de la casa y descubrir que cada término aporta exactamente 1 a la esperanza.
En 1785 el Marqués de Condorcet demostró que la agregación de preferencias individuales bien ordenadas puede producir una preferencia colectiva cíclica: la mayoría prefiere A sobre B, B sobre C, y C sobre A. El lab permite ajustar los tamaños de los grupos y explorar cuándo emerge el ciclo y cuándo existe un ganador de Condorcet.
En 1938 Frank Benford notó que en colecciones numéricas que cubren varios órdenes de magnitud, el primer dígito no es uniforme: P(d) = log₁₀(1 + 1/d). El 1 aparece ~30 % de las veces; el 9, menos del 5 %. Hoy se usa para auditar contabilidad y detectar fraude. Este lab prueba cinco datasets (poblaciones, Fibonacci, potencias de 2, uniformes, ríos) para ver cuáles cumplen Benford.
Una de las paradojas de probabilidad más famosas: con solo 23 personas en una sala, hay más del 50 % de probabilidad de que dos compartan cumpleaños. El truco está en contar el complemento y reconocer que las comparaciones crecen como C(n, 2), no lineal. El lab permite variar N y comparar con simulación Monte Carlo.
El dilema del prisionero, formulado en RAND en 1950 por Flood y Dresher, y popularizado por Albert Tucker con una historia de dos prisioneros, muestra que la elección individualmente racional puede ser colectivamente peor. Pero en el juego iterado, estrategias simples como Tit-for-Tat (cooperar primero, copiar al rival después) vencen a la traición pura. El lab permite probar seis estrategias y ver cómo evoluciona la cooperación.
El problema de Monty Hall, inspirado en el programa "Let's Make a Deal" (EE.UU., 1960s-70s), fue formalizado por Steve Selvin en 1975 y se hizo viral en 1990. Tres puertas, un auto, dos cabras. Eliges una; el presentador abre otra vacía y te ofrece cambiar. La intuición dice 50/50; la probabilidad dice que cambiar da 2/3 de ganar. El lab incluye juego interactivo + simulación Monte Carlo.
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