Antes de escribir una fórmula, hay que saber qué tipo de fórmula buscar. La tabla de diferencias responde esa pregunta: si la primera diferencia Δ¹ es constante el patrón es lineal; si la segunda Δ² es constante es cuadrático. Este laboratorio conecta la figura visual con la expresión algebraica.

Una sucesión aritmética crece sumando siempre el mismo valor; una geométrica, multiplicando por el mismo factor. Este laboratorio muestra cómo esa diferencia produce gráficas y acumulaciones radicalmente distintas, conectando progresiones con funciones y series con convergencia.

Fibonacci es el patrón recursivo más famoso: cada término es la suma de los dos anteriores. A diferencia de los patrones polinomiales, su tabla de diferencias nunca se estabiliza — el crecimiento es exponencial, aproximado por φⁿ/√5. La razón áurea φ aparece en la naturaleza porque optimiza el empaquetamiento de semillas y pétalos.

El interés simple suma siempre la misma cantidad (progresión aritmética); el compuesto multiplica cada año por el mismo factor (progresión geométrica). La diferencia entre ambas curvas revela por qué el tiempo es el activo más poderoso en cualquier inversión.

Toda función invertible tiene un espejo en la línea y = x. Explorar ese espejo con la exponencial revela por qué el logaritmo existe, cuál es su dominio y por qué no está definido en cero ni en negativos.

El Triángulo de Pascal organiza los coeficientes C(n,k) = n! / k!(n-k)! que aparecen al expandir cualquier binomio elevado a una potencia entera. Cada celda es la suma de las dos de arriba, y la fila n da exactamente los n+1 términos de (a+b)ⁿ.

Cada ecuación lineal ax + by = c es una recta en el plano. Resolver el sistema es encontrar su intersección. El determinante det = a₁b₂ − a₂b₁ decide si existe una solución única, infinitas o ninguna.

Una tira de papel se parte quitándole el tercio del centro; a cada pedazo que queda se le hace lo mismo, para siempre. El número de pedazos crece como 2ⁿ mientras el largo de cada uno cae como (1/3)ⁿ, así que el largo total es (2/3)ⁿ: una progresión geométrica que se acerca a cero. Es la puerta de entrada a la autosemejanza y a los procesos infinitos.

Un punto salta repetidamente una fracción r del camino hacia un vértice elegido al azar. Tras miles de saltos, el desorden revela una figura precisa: el triángulo de Sierpinski y sus parientes. La dimensión de semejanza D = log N / log(1/r) mide qué tan "lleno" queda el atractor, y el criterio n·r² ≥ 1 dice cuándo las copias se solapan y la figura se rellena, dejando de ser fractal.

El triángulo de Pascal guarda los coeficientes binomiales C(n,k). Si coloreas solo las casillas con número impar, emerge el triángulo de Sierpinski —la misma figura que aparece por azar en el Juego del caos y por recorte en el Conjunto de Cantor. La paridad de C(n,k) tiene una regla exacta (el teorema de Lucas en base 2): es impar exactamente cuando k es submáscara binaria de n.